Grupo de Tarski

En matemáticas, un grupo de Tarski (en notación inglesa Tarski monster group), es un grupo infinito G tal que para todo subgrupo propio H, i.e., ${\displaystyle H\subset G}$, con excepción del subgrupo identidad, es un grupo cíclico de orden igual a un primo p. Un grupo de Tarski es necesariamente grupo simple. En 1979, A. Yu. Olshanskii demostró que el grupo de Tarskii existe y que existe un p-grupo de Tarskii para todo primo p > 10⁷⁵. Son una fuente muy importante de contraejemplos para las conjeturas en teoría de grupos, y de forma más importante para el problema de Burnside y la conjetura de von Neumann.

Definición

Sea ${\displaystyle p}$ un número primo. Un grupo infinito ${\displaystyle G}$ se dice que es un grupo de Tarskii para ${\displaystyle p}$ si todo subgrupo no trivial de G (i.e., todo subgrupo distinto de 1 y G) tiene ${\displaystyle p}$ elementos.

Propiedades

• ${\displaystyle G}$ tiene un número finito de generadores. De hecho es generado por cualesquiera dos elementos que no conmuten.
• ${\displaystyle G}$ es simple. Si ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ y ${\displaystyle U\leq G}$ es cualquier subgrupo distinto de ${\displaystyle N}$ el subgrupo ${\displaystyle NU}$ tendrá ${\displaystyle p^{2}}$ elementos.
• La construcción de Ol'Shanskii demuestra de hecho que hay una cantidad no numerable de grupos de Tarskii para cada primo ${\displaystyle p>10^{75}}$.

Referencias

• A. Yu. Olshanskii, An infinite group with subgroups of prime orders, Math. USSR Izv. 16 (1981), 279-289; translation of Izvestia Akad. Nauk SSSR Ser. Matem. 44 (1980), 309-321.
• A. Yu. Olshanskii, Groups of bounded period with subgroups of prime order, Algebra and Logic 21 (1983), 369-418; translation of Algebra i Logika 21 (1982), 553-618.
• Ol'shanskiĭ, A. Yu. (1991), Geometry of defining relations in groups, Mathematics and its Applications (Soviet Series) 70, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-1394-6 .